Численное решение кинетических уравнений

Внимание, к презентации вечером 17 марта добавлены два слайда для объяснения режима предельного цикла, получающегося при численном расчете.

На предыдущих занятиях в основном рассматривались методы построения систем уравнений на основе кинетических схем процессов, их аналитическое исследование - линейный анализ и аналитическое решение для простых одномерных случаем - уравнения Ферхюльста и сводимой к нему при определенных приближениях эпидемиологической SIR-модели. 

Однако, как правило, нелинейные модели биофизической кинетики полностью аналитически решены быль не могут, поэтому требуется их численное решение на компьютере. Ниже - презентация с пошагово разобранным примером - системой Селькова (пока - только с математической и компьютерной точек зрения, ее биофизическое происхождение будет на одной из лекций, посвященной метаболизму питательных веществ, позже):

А теперь - как писать код для численного решения этой системы дифференциальных уравнений и получить те графики, которые приведены в презентации.

Модель SIR и эпидемия COVID-19: продолжение

В связи с тем, что текущие данные по динамике эпидемии в России показывают продолжающийся прирост инфицированных, а также модельные расчеты за последнюю неделю приводят к регулярному сдвигу ориентировочной даты максимума, см. графики и таблицы параметров, представляет интерес, разобраться в ситуации более детально, проведя анализ непосредственно регистрируемых данных. Кроме того, любопытно посмотреть, отразились ли и как именно на этой динамике карантинные меры последних двух недель.

График ниже будет обновляться в соответствии с новыми данными, так что имеет смысл поглядывать время от времени и в дальнейшем. Текущее обновление, с уточненной сегментацией этапов эпидемии и ее математических моделей: 27 апреля. 

По состоянию на 2 мая к описанию сделано добавление, представляющее анализ ситуации в связи с новыми данными, добавившимися за время, прошедшее с первого варианта описания модели.

Практикум: модель SIR и эпидемия COVID-19

Раз уж эти дистанционные занятия пришлись на время существования пандемии COVID-19, а предыдущая тема  как раз затрагивала приложение методов кинетики для построения математических моделей динамики эпидемии и их анализа, то было бы как-то глупо в качестве практикума заниматься моделированием всякого рода чумы в XVII веке и чего-то подобного, давно прошедшего, когда есть такая возможность поисследовать применение соответствующей теории к актуальной эпидемической задаче, тем паче, что это, помимо иллюстрации, дает еще возможность попробовать сделать предсказания ее динамики, пока эпидемия везде, кроме Китая, еще далека от завершения, а потом проверить надежность подобного прогноза (а также посмотреть, будут ли реально отражаться на будущем поведении эпидемических кривых какие-либо меры, предпринимаемые, начиная с какого-либо момента времени - по расхождению прогноза с данным на текущий момент и последующими реальными данными). А в конце материала - контрольное задание для самостоятельной работы (для сведения - страны, с обработкой который отметились: Швеция (SE), Германия (DE), Израиль (IL), Египет (EG), Барбадос (BB), США (US)).

По состоянию на 2, 8, 16 и 28 мая к описанию сделаны добавления, представляющее анализ ситуации в связи с новыми данными, добавившимися за время, прошедшее с первого варианта описания модели.

Общую статистику происходящего, пояснения, на чем она основывается, и как интерпретируется, и интерактивные иллюстации можно порекомендовать смотреть в разделе Coronavurus сайта Our World in Data (https://ourworldindata.org/coronavirus).

А теперь - к модели логистического роста, как приближения SIR-модели и практических шагах по ее тестированию на основе имеющихся данных. 

SIR-модель Кермака-МакКендрика

Основное содержание: модель описывает переходы между численностью индивидов, разделенных на три группы: восприимчивые (Susceptible), которые при контакте с инфицированными (Infected) с вероятностью $k$ заражаются и заболевают, болезнь продолжается течение в течение времени $\tau$, после чего инфицированные выздоравливают, приобретая иммунитет, или гибнут (Recovered/Removed), согласно схеме:

О дистанционных занятиях

График по форме, которую истребовала учебная часть (естественно, если дело дойдет до реальности, то возможны обновления материалов ближе к соответствующим датам):

Дата	Тема	Вид занятия	Ссылка на ресурс в ЭИОС
20.03.2020	Модель логистического роста	Практическое занятие	https://modbiolsys.kursksu.ru/2016/02/blog-post.html
27.03.2020	SIR-модель Кермака-МакКендрика	Лекция	https://modbiolsys.kursksu.ru/2020/03/sir.html
10.04.2020	Практикум: модель SIR и эпидемия COVID-19	Лекция и практикум	https://modbiolsys.kursksu.ru/2020/04/sir-covid-19.html
17.04.2020	Численное решение кинетических уравнений	Лекция	https://modbiolsys.kursksu.ru/2020/04/blog-post.htmll
24.04.2020	Анализ и численное решение кинетических уравнений с двумя переменными	Практическое занятие	https://modbiolsys.kursksu.ru/2020/04/blog-post_24.html

Способ проведения онлайн-консультаций: электронная почта

Линейный анализ (двумерная система)

Записи на доске:

Рекомендуемая литература по теме занятия:  см. список рекомендуемых учебных материалов, это рассматривается во всех приведенных учебниках